Introduction to Logic

Introduction to Logic: a modern, interdisciplinary approach

逻辑导论（2023 春季）

教师: 逻辑学教研室全体 (邢滔滔、王彦晶、钟盛阳、丁一峰)

负责人: 王彦晶

时间：每周一 10-12 节地点：理教211

其他相关课程请见: logic.pku.edu.cn

News

第十三次课（5 月 22 日）课件模态逻辑 II

第十二次课 (5月 15 日) 课件模态逻辑 I

第十一次课 (5月 8 日) 课件对角线方法

第十次课 （4月24日）课件一阶逻辑与无穷

第九次课（4月17日）课件一阶逻辑与计算问题

第八次课（4月10日）课件一阶逻辑应用

本次课我们首先回顾了一阶逻辑自然推演系统，演算了一些经典的关于量词的推演规则的例子。然后我们讲解了一些在自然语言中使用一阶逻辑的例子，介绍了它们的形式化，特别是最基本的“所有…都…”和“有的…是…”以及更进一步的数数，摹状词，以及一些歧义现象。最后我们说明了纯一阶逻辑无法精确表达“无穷”，尽管我们可以写出有且仅有无穷结构能满足的一阶逻辑句子：“所有东西都有原因，原因的原因也是原因，但没有哪个东西是自身的原因”。

第七次课（4月3日） 课件一阶逻辑 II

在本次课中，我们首先分析了全称量词和存在量词的直观语义，以此为基础定义了全称公式和存在公式的满足关系；分析了公式中自由变元和约束变元的不同语义作用，总结出满足关系的一个特点（合同引理）；定义了语义后承及相关概念。然后我们讨论了关于“对于任意一个”和“存在一个”的证明策略和使用策略，以及等词的个体同一律和莱布尼兹律；在此基础上引入了关于等词符号、全称量词和存在量词的引入规则和消去规则，从而得到一阶逻辑的自然演绎系统并定义了语形后承及相关概念。接着我们简单看了一下一阶逻辑的一个希尔伯特式证明系统。最后，我们介绍了一阶逻辑的可靠性定理和完全性定理，讨论了它们的证明思路，特别是基于Henkin集的强完全性定理的证明。

第六次课（3月27日）课件一阶逻辑 I

在本次课中，我们首先将简单句看成由名字和谓词组成，然后明确了形式语言中需要有常元符号、个体变元和函数符号来组成名字，也需要有关系符号作为谓词。因为等词是一个特别重要的关系，我们专门引入等词符号来表达它。然后我们看到，只需要全称量词和存在量词，我们的语言就有足够强大的表达力，所以我们只为这两种量词引入符号。接着我们介绍了一阶语言中初始符号、项和公式的定义，并介绍了辖域、个体变元的自由出现和约束出现、公式的自由变元和约束变元以及语句等相关定义。然后我们开始讨论一阶逻辑的形式语义。我们看到我们需要一个非空集合作为论域，需要集合中的特殊元素来解释常元符号，需要集合上的函数来解释函数符号以及需要集合上的关系来解释关系符号。我们称一个能满足这些需要的数学对象为一个结构。我们引入指派的概念来解释个体变元，并体现它们的指称的临时性。我们看到一个结构和这个结构上的一个指派足以确定每一个项的指称。最后我们看到一个结构和这个结构上的一个指派也足以确定每一个原子公式的真假。

第五次课(3月20日) 课件命题逻辑应用

本次课我们介绍了命题逻辑应用相关的内容，包括常用的但是不在正式自然推演系统中的逻辑推理规则，用命题逻辑理解自然语言中的表达和推理，命题逻辑的可满足性问题及其在数学和计算机工程中的应用，以及命题逻辑中的真值函数完全性问题。我们跳过了得大奖小奖的逻辑谜题的形式化解答以及最后的关于逻辑与概率的讨论。逻辑与概率在之后也许会另外再讨论。

第四次课(3月13日) 课件命题逻辑II

在本次课中，我们首先介绍和证明了形式语义部分的紧致性定理。然后我们一边分析各个连词在论证/证明中的用法，一边定义命题逻辑自然演绎系统中的相应规则，最后定义了形式系统部分的核心概念——语形后承。接下来我们依次介绍并证明了命题逻辑的(强)可靠性定理、弱完全性定理和强完全性定理；它们揭示了语义后承和语形后承的联系。最后我们简单介绍了命题逻辑的另一个形式系统——希尔伯特式证明系统。

第三次课(3月6 日) 课件命题逻辑I

在本次课中，首先我们注意到论证可以因为内容而正确，也可以因为形式而正确，并且连词在决定论证的形式方面有重要的作用；由此我们定义了命题逻辑的形式语言。然后我们在两个理论假设之下总结了关于4个重要连词的真值条件；由此我们定义了命题逻辑的形式语义。

第二次课 (2月27日) 课件本次课我们用一个三段论的小片段讲解了逻辑学的形式语言、模型、语义、推理系统的概念，介绍了这个小片段中可靠性和完全性的证明。之后我们简单梳理了逻辑学产生的背景和亚里士多德对于逻辑学的开创性贡献。

补充文献:

关于”逻辑”一词的提出和使用的历史，可参考这篇论文.
关于拓展三段论的自然逻辑（Natural Logic）研究可参考这篇文章，本次课讲的片段就属于自然逻辑的范畴，完全性证明来自Larry Moss。
关于Curry-Howard Correspondence 可参考维基百科的介绍

第一次课 (2月20日) 课件本次课是整门课的导言，我们介绍了课程的基本信息，逻辑学的研究对象，以及课程设计的设想与大纲。

大纲（Contents）：

本课程是跨学科视角下的现代逻辑学导论。我们会带着同学们沿着历史脉络了解现代逻辑学的基本思想和概念，看到逻辑学与哲学、数学、计算机以及语言学的密切联系，在领略一个学科的整体图景的同时，在一定程度上掌握一些逻辑学最基本的技术，同时通过各种例子体现逻辑学的现实作用，让大家感受逻辑学之美。具体技术内容包括三段论、命题逻辑、一阶逻辑及其重要理论、模态逻辑、非经典逻辑等。